☛ Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

 Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Soit  \(d\) une droite dirigée par  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -3 \\ \end{pmatrix}\)  et \(P\) un plan de vecteur normal  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}-3\\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}\) .
Étudier la position relative de \(d\) et \(P\) .

2.    Soit  \(d\) une droite dirigée par  \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}\)  et \(P\) un plan de vecteur normal  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}1\\ -2 \\0 \\ \end{pmatrix}\) .
Étudier la position relative de \(d\) et \(P\) .

3.    Soit  \(d\) une droite dirigée par  \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}4\\6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}\)  et \(P\) un plan de vecteur normal  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\ -3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\) .
Étudier la position relative de \(d\) et \(P\) .

Solution

1.  \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=2\times (-3)+3\times 1+(-3)\times (-1)=-6+3+3=0\) .
Donc \(d\) est parallèle à \(P\) .

2.  \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u} = 5\times1+3\times (-2)+(-1)\times 0=5-6+0=-1\neq 0\) .
Donc  \(d\)  et  \(P\)  sont sécants.

3.  \(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{n}\) , donc  \(\overrightarrow{n}\)  et  \(\overrightarrow{u}\)  sont colinéaires : \(d\) est donc orthogonale à \(P\) .